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La Formula di Pre-dimensionamento di Alberi Pieni Soggetti a Torsione

    La nota formula di pre-dimensionamento per alberi cilindrici pieni deriva da semplici considerazioni e si basa sulle note relazioni di seguito esposte. La formula serve per dimensionare alberi soggetti a sola torsione, ipotesi quasi sempre falsa dato che in genere sono presenti anche sforzi di flessione e taglio (anche se questi ultimi non si valutano nel calcolo, per ovvi motivi). Tuttavia, questa formula ci viene in aiuto per un dimensionamento di massima, che contempla perlopiù un momento torcente impresso, e comunque, come vedremo, nel calcolo si adotta un coefficiente di sicurezza relativamente alto.

    Vediamo dapprima la formula oggetto di discussione:

    Il diametro minimo dell’albero è pari alla potenza espressa in KW fratto il numero di giri al minuto, il tutto per un coefficiente pari a 120. Vediamo ora come si ricava.

    Si parte dalla formula che utilizziamo normalmente per valutare gli sforzi tau dovuti ad un momento torcente:

    Ebbene, notoriamente abbiamo che la tau massima è data dal momento torcente fratto il modulo di resistenza a torsione, che per un albero pieno, si rammenta, è pari a:

    Ora, il momento torcente, dato che in input avremo i dati di potenza e velocità angolare, è dato da:

    Ovvero potenza su velocità angolare. Ma attenzione: dato che la tau la si esprime correntemente in N/mm2, per poter essere implementata nella formula suddetta si deve aggiungere un fattore moltiplicativo pari a 1000, dato che la formula standard (ovvero nel SI) contempla N, metri e rad/s, per cui:

    Bisogna inoltre ricondurre la velocità angolare in giri al minuto, al fine di trovare n nella formula oggetto di discussione:

    A questo punto è necessario agire sul parametro tau, considerando la tau ammissibile. Per poterci ricondurre al coefficiente 120 dobbiamo utilizzare una tau ammissibile di 30 N/mm2. Nello stabilire tale valore, si tiene conto di plausibili effetti di fatica e momenti flettenti. Se si considera il criterio di Von Mises, per il calcolo delle tensioni equivalenti, abbiamo che la sigma ammissibile è pari a:

    che nel caso di specie vale circa 52 Mpa. Ora, nel caso generale, si considera un acciaio C40, correntemente utilizzato in applicazioni generiche (ragionevolmente si adotta questo materiale poiché non particolarmente performante, e quindi ci si pone in favor di sicurezza), quindi, se si valuta una tensione di rottura pari a 620 N/mm2 , il coefficiente di sicurezza che ne risulta è pari a circa 12.

    Infine, se si assemblano le formule esposte e si esplicita il diametro minimo, abbiamo la formula di pre-dimensionamento. Vediamo i passaggi principali:

    Ora, si moltiplica per 1000 al numeratore per immettere la potenza in KW:

    Il coefficiente 117.47 si arrotonda in eccesso a 120 in favor di sicurezza.

    La formula di pre-dimensionamento è molto comoda quando si deve stimare il diametro di un albero in prima battuta, data la potenza ed il numero di giri. D’altro canto, se si hanno più informazioni, come i momenti flettenti che agiscono sull’albero e, più in generale, tutte le sollecitazioni che agiscono sullo stesso, si procederà ad un dimensionamento più puntuale.

    Ora che conoscete la formula potete divertirvi ad adattarla per alberi cilindrici cavi.

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